Mittwoch, 25. November 2020

Erläuterungen zur Streckenreduktion

 

Die Erde ist unregelmäßig krumm. Messungen auf der Erdoberfläche sollen mathematisch und grafisch verarbeitet werden. Die Geodäten haben als erste Näherung an die unregelmäßige Erde das Ellipsoid ausgewählt. Es gibt verschiedene Bezugssysteme (Ellipsoide), die entweder in einen bestimmten Land oder weltweit dafür geeignet scheinen. Auf einem Ellipsoid kann man rechnen. Das ist aber immer noch recht kompliziert. Daher gibt es als zweite Näherung die Abbildung der Ellipsoidoberfläche in Ebenen. In der Ebene ist alles einfach zu rechnen und in Karten abzubilden. Der Übergang vom Ellipsoid zu Ebene ist aber nicht ganz einfach und bringt Verzerrungen mit sich. (Die Apfelsinenschale lässt sich nicht flach bügeln, ohne an der Rändern einzureißen.)

Es gibt Verzerrungen in Strecken und Richtungen. Die für Richtungen sind klein und müssen nur bei der Landesvermessung berücksichtigt werden.

Die Streckenverzerrungen sind bei der    UTM-Abbildung groß und dürfen nicht vergessen werden - es sei denn die Programme oder Messinstrumente sind so konfiguriert, das zu übernehmen.

 

Vergleich Gauß-Krüger-Abbildung und UTM-Abbildung

                                     10°                                  11°                                 12°

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Streckenreduktion für UTM im Streifen 32 (Mittelmeridian 9°):

Eine im Gelände gemessenen schräge Strecke wird mit dem Höhenunterschied zwischen den beiden Punkten waagerecht gerechnet. Die dann horizontal (gemessene) Strecke wird im ersten Schritt von der Geländehöhe auf das Ellipsoid reduziert. Dazu benötigt man die Höhe über dem Ellipsoid bzw. näherungsweise die Normalhöhe + 46m (für ETRS89 in Thüringen). Die Strecke wird durch diese Reduktion etwas kleiner.

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Im zweiten Schritt findet die Verebnung vom Ellipsoid nach der Koordinatenebene statt. Dafür benötigt man den Abstand vom Mittelmeridian.

Die Näherungsformel für beide Reduktionen zusammen ist

sUTM = sH * m0 * (1 – ellH/R + y2/(2*R2))

 dabei ist:

sUTM die Strecke in er UTM-Ebene

sH     die horizontale Strecke in der Geländehöhe

m0   der Abbildungsmaßstab am Mittelmeridian  0,9996

ellH  = (Geländehöhe (+46m))/1000  (ellipsoidische Höhe in km)

R     = 6383km

y      =((E-32500000)/1000)/m0 (Abstand vom Mittelmeridian in km)

 

Streckenreduktion für Gauß-Krüger-Koordinaten:

Die Formeln sind analog anzuwenden, mit den jeweils richtigen Streifenkennzahlen (z.B.  4500000), ohne Höhenoffset von 46 m und mit einem Maßstabsfaktor von 1.

 

Genauigkeit:

Im Programm ist diese Näherungsformel eingebaut. Die verschiedenen gängigen Ellisoide haben in Thüringen alle etwa den gleichen Radius der Gaußschen-Schmiegkugel (R). Es können also auch Streckenreduktionen für Krassowski (42/83) gerechnet werden. Die Genauigkeit der Formel liegt bei < 10 ppm (besser 1 cm auf 1 km).

Die Höhe muss dafür auf 10m genau angegeben werden.

Die Anzahl der Kommastellen bei der Ergebnisausgabe wird aus der der Eingabe abgeleitet bzw. auf 10 ppm begrenzt. Strecken über 150 km werden nicht gerechnet.

Es werden auch dann auf Meter (Quadratmeter) gerundete Ausgaben gemacht, wenn die Eingabewerte eine schlechtere Genauigkeit haben.

Im Liegenschaftskataster von Thüringen sind geringfügig andere Formeln vorgeschrieben. Gerade bei Berechnungen in PD83 und größeren Höhen, kann es zu Abweichungen (mehrere 10 ppm) gegenüber den Berechnungen hier kommen, weil dort mit einer pauschalen Höhe für ganz Thüringen gerechnet wird.

Programmablauf:

Es wird hier nicht wie bei einer Messung von den gemessenen Werten auf die Koordinatenebene reduziert sondern in der umgekehrten Richtung.

Die im Eingabefenster übergebenen Werte werden analysiert. In der ersten Koordinate wird nach Werten zwischen 3500001-3999999, 4000001-4999999, 32500001-32999999 und 33000001-33999999 entschieden, ob Gauß-Krüger-Koordinaten im Streifen 3 oder 4  oder UTM-Koordinaten im Streifen 32 oder 33 vorliegen.

Weitere Prüfungen der Koordinaten sind nicht eingebaut. Vermeiden Sie geodätisch unsinnige Eingaben oder Koordinaten die weit außerhalb von Thüringen liegen. Das kann zu Fehlberechnungen führen.

GK-Koordinaten werden als PD83 verstanden, UTM-Koordinaten als ETRS89.

andere GK-Koordinaten:

RD83 GK-Koordinaten oder 42/83-GK-Koordinaten mit 3 Grad Streifenbreite können auch eingegeben werden und werden richtig reduziert. Für 42/83-Koordinaten in 6 Grad Streifenbreite mit Mittelmeridian 9 (Kennziffer 2) funktioniert das auch, wenn Sie die Kennziffer 2 vorher gegen eine 3 tauschen. Mit ebensolchen Koordinaten (6 Grad Streifenbreite) im Mittelmeridian 15° (Kennziffer 3) funktioniert das nicht!

 

Die Eingabe von Höhen größer 0 ist zwingend notwendig.

Die übergebenen Koordinaten müssen alle in der gleichen Abbildung sein (gleicher GK oder UTM Streifen).

 

Zwischen aufeinanderfolgenden Punkten werden die Strecken und die verschiedenen Reduktionsstände gerechnet.

Eine Flächenausgabe gibt es nur, wenn der erste Punkt mit dem letzten identisch ist (Fläche geschlossen) und mindestens ein Dreieck vorliegt. Geprüft werden Punktnummer, beide Koordinaten und auch die Höhe.

Wenn sich die Strecken der Umringslinie kreuzen, funktioniert die Gaußsche-Flächenformel, die hier verwendet wird, nicht mehr und das Ergebnis ist dann falsch. (Das wird nicht überwacht - also auch nicht mit einer Fehlermeldung quittiert.)

Eine schräge Fläche (wieviel qm Rasen sind auf der Fläche zu mähen?) gibt es nur im Dreiecksfall. Es wird dafür angenommen, dass die Fläche im schrägen Dreieck eben ist. Bei Flächen mit mehr als 3 Eckpunkten kann keine sinnvolle Aussage über den Höhenverlauf in der Fläche erraten werden.